Klumpenhouwer 网络

Klumpenhouwer 网络（K-net）以音类为节点，以移位与倒影操作为有向边，用变换关系解释一个音类集合的内部结构. 亨利·克伦彭豪尔（Henry Klumpenhouwer）提出这一分析构想，大卫·列文（David Lewin）将其形式化并系统研究网络之间的同型关系.

基本定义

令音类属于 ℤ12。移位与倒影分别定义为

$$T_n(p)=p+n\pmod {12},\qquad I_n(p)=-p+n\pmod {12}.$$

K-net 的每个节点承载一个音类；从节点 p 指向 q 的边可标为 Tq−p，也可标为 Ip+q。因此，同一对音类总能同时由一个 T 操作和一个 I 操作关联。边采用 T 还是 I、箭头朝向以及选择哪些关系，都是网络解释的一部分，不能由音类集合唯一决定。

网络中的路径必须保持变换复合的一致性。若两条路径具有相同起点和终点，它们复合所得的操作也必须一致；图中没有必要画出所有可由已有路径推出的冗余边。

一个集合可以有多个网络

K-net 并不是集合的唯一标准形。重新安排节点、反转箭头或选择另一组 T/I 关系，都可能为同一集合产生不同而有效的网络。网络表达的是分析者希望突出的一组变换关系，而不是集合本身的全部性质。自动搜索只能给出候选读法；选择哪一种仍需由声部、节奏、音区、动机及其他音乐语境支持。

同型

比较两个 K-net 时，首先要求它们具有相同的节点—箭头构型，并指定对应的节点与边；随后比较对应边上的 T/I 标签。这种网络间关系称为同型（isography），不同于只检查无标签结构的普通图同构。

强同型

若所有对应的 T 与 I 标签完全相同，两网络为强同型（strong isography），传统记作 ⟨T0⟩。强同型是正同型的特例。

正同型

若对应 T 标签相同，而所有对应 I 下标统一增加同一个常数 j，则为正同型（positive isography）：

$$T_n\mapsto T_n,\qquad I_n\mapsto I_{n+j}.$$

其网络间变换记作 ⟨Tj⟩。

负同型

若对应 T 标签取逆，而对应 I 标签依照同一个常数 j 反射，则为负同型（negative isography）：

$$T_n\mapsto T_{-n},\qquad I_n\mapsto I_{-n+j}.$$

其网络间变换记作 ⟨Ij⟩。等价地，对应的 T 下标互补为 12，而对应的 I 下标之和恒等于 j（模 12）。

自同构记法

上述关系可统一写成 T/I 群的自同构

$$F(u,j)(T_n)=T_{un},\qquad F(u,j)(I_n)=I_{un+j},$$

其中 u 是 ℤ12 的单位。经典 K-net 分析主要使用 u=1 的正同型和 u=11≡−1 的负同型；强同型对应 u=1、j=0。更一般的群自同构不应在未说明的情况下与经典三类同型混为一谈。

例：移高半音

按同一三角构型排列 {0,4,7}，边标签可为 T4、I7、I11。整体移高半音成为 {1,5,8} 后，对应标签为 T4、I9、I1：T 标签不变，两个 I 下标都加 2，因此是 ⟨T2⟩ 正同型。这里的 2 是变换标签的下标差，不是移高的半音数.

超网络与递归

若若干局部 K-net 彼此同型，可以把每个网络视为更高层网络的节点，并用 ⟨Tj⟩ 或 ⟨Ij⟩ 标记网络之间的关系。这种“网络之网络”通常称为超网络（hypernetwork）。递归结构可以组织多层次材料，但其解释力取决于局部网络之间是否存在音乐上可论证的对应。

分析边界

三音集合的 K-net 尤其容易产生大量候选关系。在常用的一条 T 边、两条 I 边的三角构型中，只要两个网络选中的有向 T 边相同，另外两条 I 边就会自动相差同一常数，因此正同型很容易通过重新安排节点得到。Buchler 将这种现象概括为 K-net 的关系过度丰富：形式上成立的同型不必然唯一，也不必然揭示作品中重要的听觉关系。

因此，分析应优先报告强同型，并明确说明节点对应、箭头方向和构型选择。正、负同型是合法的理论关系，但其意义必须由音乐表层、反复出现的变换、声部组织或更高层结构加以论证。

参考文献

  1. LEWIN D. Klumpenhouwer networks and some isographies that involve them[J]. Music Theory Spectrum, 1990, 12(1): 83–120.
  2. LEWIN D. A tutorial on Klumpenhouwer networks, using the chorale in Schoenberg's Opus 11, No. 2[J]. Journal of Music Theory, 1994, 38(1): 79–101.
  3. BUCHLER M. Reconsidering Klumpenhouwer networks[J]. Music Theory Online, 2007, 13(2).
  4. NOLAN C. Thoughts on Klumpenhouwer networks and mathematical models[J]. Music Theory Online, 2007, 13(3).
  5. POPOFF A, ANDREATTA M, EHRESMANN A. Relational poly-Klumpenhouwer networks for transformational and voice-leading analysis[J]. Journal of Mathematics and Music, 2018, 12(1): 35–55.

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