DFT 相位空间

DFT 相位空间（DFT phase space）以音类分布的 Fourier 系数相位为循环坐标；一个音类集合的全部音共同参与每个系数的求和，整个集合因而对应相位空间中的一个点.

从音类分布到相位

在 \(c\) 音等分律中，音类分布写作 \(x=(x_0,\ldots,x_{c-1})\). 集合的指示函数令集合内音类的权重为 1，其余为 0；更一般的分布也可以采用实数权重. 第 \(k\) 个 Fourier 系数为

$$a_k=\sum_{p=0}^{c-1}x_p e^{-2\pi i kp/c}=|a_k|e^{i\phi_k}.$$

模长 \(|a_k|\) 表示该周期分量的强度，相位 \(\phi_k=\arg(a_k)\) 表示合向量的方向. 若 \(|a_k|=0\)，方向不存在，该对象便不能在以 \(\phi_k\) 为坐标的轴上定位.

循环坐标及环面

选择两个非零系数的相位，可把音类分布映射为

$$x\longmapsto \bigl(\arg(a_j),\arg(a_k)\bigr).$$

两个相位都以 \(2\pi\) 为周期，因此坐标空间不是具有边界的普通长方形，而是 \(S^1\times S^1\). 将它画成方形时，左右边表示同一条圆周切口，上下边亦然；把两对边分别粘合便得到二维环面. 横纵轴可以交换，但图示与距离计算必须始终说明采用的顺序.

3–5 相位空间

埃马纽埃尔·阿米奥（Emmanuel Amiot）以十二音类系统中的 \((\arg(a_3),\arg(a_5))\) 研究大小三和弦. 二十四个大小三和弦具有相同的相关 Fourier 幅度，而两相位合起来将它们区分开；由公式所得的相邻排列呈现对偶里曼音网，并赋予其连续的环面背景. 文献中的展开图可以把 \(\arg(a_5)\) 画在横轴、\(\arg(a_3)\) 画在纵轴；这只是坐标书写顺序，不改变底层环面.[1]

杰森·尤斯特（Jason Yust）随后把这一空间用于更广的和声对象与作品分析. 他的模型仍由整个音类集合或分布共同计算相位点，并不把和弦中的各音分别当作二维坐标. 单音、二音组、不同基数集合及加权分布都可进入同一连续空间，但它们不一定共享三和弦的固定幅度，也可能在某一分量上相位未定义.[2]

移位、距离及邻接

音类分布整体移位 \(n\) 后，第 \(k\) 个相位按所用 DFT 符号约定改变 \(-2\pi kn/c\). 因此移位在相位空间中成为固定方向的平移. 环面上的距离必须按每个角坐标的最短绕回差计算，不能直接使用展开方形中跨越边界的直线差.

3–5 空间中大小三和弦的 P、L、R 邻接由相位坐标计算后显现；它不是预先指定三和弦位置的结果. 这种邻接具有明确的共同音与变换解释，但连续空间还容纳大量非三和弦对象，因此不能把整个相位环面等同于传统音网.

参考文献

  1. AMIOT E. The torii of phases[C]//YUST J, WILD J A, BURGOYNE J A, eds. Mathematics and Computation in Music. Berlin: Springer, 2013: 1-18. DOI: 10.1007/978-3-642-39357-0_1.
  2. YUST J. Schubert's harmonic language and Fourier phase space[J]. Journal of Music Theory, 2015, 59(1): 121-181. DOI: 10.1215/00222909-2863409.

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